Ένα από τα βασικότερα μαθήματα, το οποίο είναι κοινό για όλα τα Τμήματα Θετικών και Πολυτεχνικών Σχολών, είναι το Μάθημα της Μαθηματικής Ανάλυσης 2 ή αλλιώς το Μάθημα του Λογισμού 2 όπως αναφέρεται σε ορισμένα προγράμματα Σπουδών.

ΦΟΙΤΗΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2 - ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2

ΤΑ ΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ

Το μάθημα της Μαθηματικής Ανάλυσης 2 , όπως είναι δομημένα τα Προγράμματα Σπουδών των περισσότερων Τμημάτων Θετικών και Πολυτεχνικών Σχολών, εστιάζει στο Λογισμό Πολλών Μεταβλητών

Πυρήνα του μαθήματος αποτελεί η Ολοκλήρωση συναρτήσεων πολλών Μεταβλητών πάνω σε:

🔴 Επίπεδες επιφάνειες του R^2 : Διπλά Ολοκληρώματα

🔴 Σε τρισδιάστατα χωρία που περικλείονται από Επιφάνειες : Τριπλά Ολοκληρώματα

🔴 Σε καμπύλες: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα

🔴 Σε επιφάνειες Γενικές ( όχι αναγκαστικά επίπεδες) : Επιφανειακά Ολοκληρώματα 

Όλες αυτές οι Μαθηματικές Τεχνικές συμπυκνώνονται σε 3 Βασικά Θεωρήματα του Μαθήματος:

🔴 Θεώρημα του Green: Συνδέει Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα β' είδους με Διπλό Ολοκλήρωμα

🔴 Θεώρημα του Gauss: Συνδέει Επιφανειακό Ολοκλήρωμα πάνω σε κλειστή επιφάνεια με Τριπλό Ολοκλήρωμα στο εσωτερικό

🔴 Θεώρημα του Stokes: Συνδέει Επιφανειακό Ολοκλήρωμα σε ανοιχτή Επιφάνεια με Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα β΄Είδους

Επιπλέον θα πρέπει να αναφερθεί ότι εντός των θεωρημάτων εμφανίζονται και σημαντικοί Τελεστές της Ανάλυσης ως συναρτήσεις 

Συνεπώς μία Εξέταση συνήθως εστιάζει σε αυτά τα Θεωρήματα καθώς δίνεται έτσι η δυνατότητα εξέτασης ταυτόχρονα σε περισσότερα από ένα τμήματα της ύλης 

Παράδειγμα: Ένα θέμα όπου θα ζητείται επαλήθευση του θεωρήματος Gauss πάνω σε Σφαιρική Επιφάνεια εξετάζει ταυτόχρονα Επιφανειακά Ολοκληρώματα , Τριπλά Ολοκληρώματα και μάλιστα σε εσωτερικό Σφαίρας ( Σφαιρικές Συντεταγμένες -->> SOS) καθώς και γνώση του τελεστή της ''Απόκλισης'' μίας συνάρτησης πολλών Μεταβλητών

Συνεπώς τα 3 θεωρήματα αποτελούν τον Βέλτιστο Τρόπο επανάληψης όλων των Κεφαλαίων ολοκλήρωσης του μαθήματος , που ουσιαστικά συνθέτουν και το 70- 80% της ύλης όλου του Μαθήματος

🔵 Η σωστή προσέγγιση Προετοιμασίας:

Δουλειά και εξάσκηση σε κάθε κεφάλαιο Ολοκλήρωσης Συναρτήσεων πολλών Μεταβλητών

Εκμάθηση και εξάσκηση πάνω στους 3 βασικούς Τελεστές της Μαθηματικής Ανάλυσης:

☑️ Κλίση Βαθμωτής Συνάρτησης 

☑️ Απόκλιση Διανυσματικής Συνάρτησης

☑️ Περιστροφή Διανυσματικής Συνάρτησης 

Προαπαιτούμενα για την Ολοκλήρωση Συναρτήσεων πολλών Μεταβλητών , για τελεστές και κατά συνέπεια για την επίλυση ασκήσεων πάνω στα 3 βασικά θεωρήματα:

♦️Βασικές έως καλές γνώσεις πάνω στην Ολοκλήρωση Συναρτήσεων μίας Μεταβλητής

♦️Βασικές γνώσεις Γεωμετρίας στον R^2 και στον R^3 : Κατά την προετοιμασία οι βασικές γνώσεις Γεωμετρίας ( όπως η γνώση αναλυτικής εξίσωσης ευθείας , κύκλου κλπ...) πρέπει να επεκταθούν και οι Φοιτητές να αποκτήσουν καλές έως και εξειδικευμένες Γνώσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας 

Μην ξεχνάμε ότι χρειάζεται να παραμετροποιούμε καμπύλες και επιφάνειες του R^2 και του R^3 και κατά συνέπεια η γνώση Αναλυτικής Γεωμετρίας εντάσσεται στο απαραίτητο υπόβαθρο ώστε να μπορεί ο Φοιτητής να μάθει σωστά να κάνει τη διαδικασία

♦️Καλές Γνώσεις Μερικής Παραγώγισης ( θεωρείται δεδομένο καθώς αποτελεί ένα βασικό και εύκολο κεφάλαιο του μαθήματος - εύκολο φυσικά αν γνωρίζει ο Φοιτητής να παραγωγίζει συναρτήσεις μίας μεταβλητής)

Σε νέα Σειρά Άρθρων θα προσπαθήσουμε , με συνοπτικό αλλά συνάμα ευελπιστούμε και με περιεκτικό τρόπο, να παρουσιάσουμε τα 3 θεωρήματα καθώς και βασικές ενδεικτικές ασκήσεις με σχετικές Εφαρμογές ( Ασκήσεις SOS για την Εξεταστική)